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Logarithme népérien – Logarithme décimal : Cours, Résumé et exercices corrigés Sommaire A- Logarithme_népérien 1- Définition 2- Représentation 3- Propriétés de la fonction logarithme népérien 4- Etude de la fonction logarithme_népérien 4-1. Domaine de définition 4-2. Variation de la fonction logarithme_népérien Démonstration 4-3. Limites de la fonction logarithme népérien B- Logarithme décimal 1. Définition de Logarithme décimal 2. Propriétés de Logarithme décimal 3. Remarques : Liens de téléchargement des cours sur Logarithme népérien Liens de téléchargement des résumés sur Logarithme népérien Liens de téléchargement des exercices corrigés sur Logarithme népérien Voir aussi : A- Logarithme_népérien 1- Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive de la fonction x → 1/x définie sur ] 0 ; +∞ [ qui s’annule en 1. La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle x = e y ⇔ y = ln x 2- Re...

Fonction exponentielle : Cours, résumé et exercices corrigés I- Théorème 1 Soit f une fonction dérivable sur R telle que f′ = f et f(0) = 1. Alors, pour tout réel x, f(x) × f(−x) = 1. En particulier, la fonction f ne s’annule pas sur R Démonstration. Soit f une fonction dérivable sur R telle que f′ = f et f(0) = 1. Soit g la fonction définie sur R par : pour tout réel x, g(x) = f(x) × f(−x). La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, g′(x) = f′(x) × f(−x) + f(x) × (−1) × f′(−x) = f′(x)f(−x) − f(x)f′(−x) = f(x)f(−x) − f(x)f(−x) (car f′ = f) = 0. Ainsi, la dérivée de la fonction g est nulle. On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R. Par suite, pour tout réel x, g(x) = g(0) = (f(0)) 2 = 1. On a montré que pour tout réel x, f(x)×f(−x) = 1. En particulier, pour tout réel x, f(x)×f(−x) ≠ 0 puis f(x) ≠ 0. Ainsi, une fonction f telle que f′ = f et f(0) = 1 ne s’annule p...

Cercle trigonométrique – Cours et exercices corrigés Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon 1 qui est orienté, ce qui veut dire qu’on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens négatif (celui des aiguilles d’une montre) : Soit C un cercle trigonométrique de centre O et I, J deux points de C tel que (O,OI,OJ) est un R.O.N. du plan. Alors les axes OI et OJ subdivisent le cercle en quatre quadrants notés : (I), (II), (III) et (IV) : Soit (T) la tangente à C en I munie du repère (I,OJ ), x ∈ℝ et X(x)∈(T) : En « enroulant » (T) autour de C à partir du point fixe commun I (vers « le haut » dans le sens positif, vers « le bas » dans le sens négatif), on voit qu’à tout réel x on peut associer un point unique M ∈C . Nous noterons f (x)=M cette correspondance. De manière générale : \forall x\in \mathbb{R}, \forall k\in \mathbb{Z}, f(x+k.2\pi)=f(x) En effet, ajouter k.2π à x revient à faire k tours complets à partir de f (x) = M dans un s...

Théorème de THALES – Cours et Exercices corrigés I- Théorème de THALES I-1 Enoncé du Théorème de Thalès : Soit ABC un triangle non aplati Soit M un point de la demi-droite [AB), distinct de A. Soit N un point de la demi-droite [AC), distinct de A. Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC) alors \frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC } =\frac { MN }{ BC } I-2 Exemples : a- Exemple 1 AM = 30; AB = 80; AC = 20. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer AN. Réponse : Les droites (MN) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC : \frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC } =\frac { MN }{ BC } Soit \quad \frac { 30 }{ 80 } =\frac { AN }{ 20 } =\frac { MN }{ BC } Donc \quad AN \times 80 = 30 \times 20 Soit \quad AN = \frac { 30 \times 20 }{ 80 } =\frac { 30 }{ 4 } = 7.5 b- Exemple 2 (UV) // (JK). IJ = 30 ; IK = 20 ; IU = 10 ; UV = 10. Calculer IV et JK. Réponse : Les ...